\(P=\frac{4\sqrt{x}+3}{x+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(P=\frac{4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\inℤ\Leftrightarrow x+4\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}\)

Giải tiếp nhé sau đó thử chọn :V

\(p=\frac{4\sqrt{x}+3}{x+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}=1+\frac{3}{\sqrt{x}}\)

Để \(x\in Z\Rightarrow P\in Z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\inƯ\left(3\right)= \left\{-3;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow x=9\left(t.mĐKXĐ\right)\)

Với x >0

\(P=\frac{x+4\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}=1+\frac{3}{\sqrt{x}}\)

Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{3}{\sqrt{x}}\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}\in U\left(3\right)\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{1,3\right\}\)<=> x thuộc {1, 9}

a)11x-7<8x+7

<-->11x-8x<7+7

<-->3x<14

<--->x<14/3 mà x nguyên dương 

---->x \(\in\){0;1;2;3;4}

b)x^2+2x+8/2-x^2-x+1>x^2-x+1/3-x+1/4

<-->6x^2+12x+48-2x^2+2x-2>4x^2-4x+4-3x-3(bo mau)

<--->6x^2+12x-2x^2+2x-4x^2+4x+3x>4-3+2-48

<--->21x>-45

--->x>-45/21=-15/7  mà x nguyên âm 

----->x \(\in\){-1;-2}

c)2(3-x)-1,5(x-4)<3-x

<--->6-2x-1,5x+6<3-x

<--->6+6-3<2x+1,5x-x

<--->9<2,5x

<--->3,6<x mà x la so nguyen nhỏ nhất 

--->x=4

Nếu giải cụ thể ra thì nó thế này : 

Vì tích hai số nguyên > 0 nên chúng cùng dấu. 

Xét TH1 : \(\hept{\begin{cases}x+7>0\\4-x>0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x>-7\\x< 4\end{cases}}\) <=> \(-7< x< 4\)

Xét TH2 : \(\hept{\begin{cases}x+7< 0\\4-x< 0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x< -7\\x>4\end{cases}}\) ( Vô lí )

Vậy -7<x<4.

Áp dụng tính chất ngoài-đồng trong-khác :D ta có : 

\(-7< x< 4\)

Vậy...

a) \(P=\frac{x}{x-4}+\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{x-2\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right).\left(\sqrt{x}+2\right).\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right).\left(\sqrt{x}+2\right).\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right).\left(\sqrt{x}+2\right).\sqrt{x}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right).\left(\sqrt{x}+2\right).\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}\)

b) Nếu \(x>4\)thì ta dễ thấy \(x-\sqrt{x}-1>0,x-2\sqrt{x}>0\)nên \(P>0\).

Ta thử các trường hợp \(x\)nguyên,  \(0< x< 4\)ta chỉ thấy \(x=3\)thỏa mãn \(P< 0\). 

Đặt \(\frac{\sqrt{x}}{x-4}=a\left(a\inℤ\right)\)

Nếu x không là số chính phương,ta có:

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left(x-4\right)a\)

Mặt khác;\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\notinℤ\\\left(x-4\right)a\inℤ\end{cases}}\)

Suy ra mâu thuẫn 

Do đó,x là số chính phương. 

\(\Rightarrow\sqrt{x}\inℤ\)

Ta lại có :Để \(\frac{\sqrt{x}}{x-4}\inℤ\Leftrightarrow\sqrt{x}⋮x-4\Rightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2⋮x-4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)+4⋮x-4\)

\(\Rightarrow4⋮x-4\)

Mà x là số nguyên nên x-4 là số nguyên

\(\Rightarrow x-4\in\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;2;3;5;6;8\right\}\)

Mà x là số chính phương nên x=0(thỏa mãn)

Vậy khi x=0 thì \(\frac{\sqrt{x}}{x-4}\inℤ\)